Question

設向量

a

=(cosα， sinα)，

b

=(cosβ， sinβ)，其中0＜α＜β＜π，若|2

a

+

b

|=|

a

-2

b

|，則β-α=

 

．

Answer 1

分析：利用向量模的坐標公式求出兩個向量的模，利用向量的數量積公式求出

a

•

b

；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程求出

a

•

b

，求出兩個角的差．

解答：解：∵

a

=(cosα， sinα)，

b

=(cosβ， sinβ)
∴|

a

|=1，|

b

|=1，

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（β-α）
∵|2

a

+

b

|=|

a

-2

b

|
∴4

a

2+4

a

•

b

+

b

2=

a

2-4

a

•

b

+4

b

2
∴

a

•

b

=0
即cos（β-α）=0；
又有0＜α＜β＜π，
∴β-α=

π

2

故答案為

π

2

點評：本題考查向量模的坐標公式、向量的數量積公式、向量模的平方等于向量的平方．