Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD的平行四邊形，∠ADC=60°， ，PA⊥面ABCD，E為PD的中點．
（Ⅰ）求證：AB⊥PC
（Ⅱ）若PA=AB= ，求三棱錐P﹣AEC的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：因為PA⊥面ABCD，又AB平面ABCD，

所以AB⊥PA，

又因為∠ABC=∠ADC=60°， ，

在△ABC中，由余弦定理有：

AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=BC2﹣AB2

所以AB2+AC2=BC2，

即：AB⊥AC，

又因為PA∩AC=A，又PA平面PAC，AC平面PAC，

所以AB⊥平面PAC，

又PC平面PAC，所以AB⊥PC．

（Ⅱ）解：由已知有： ，

所以PA=AB=2，AD=4，因為PA⊥面ABCD

且E為PD的中點，所以E點到平面ADC的距離為 ，

所以三棱錐P﹣AEC的體積：

VP﹣AEC=VD﹣AEC=VE﹣ADC=

= × ．

【解析】（1）因為PA⊥面ABCD，則AB⊥PA，根據邊角的大小關系，由余弦定理可證出△ABC為直角三角形，即AB⊥AC，從而可證出AB⊥面PAC，即AB⊥PC，（2）由已知可得出其各邊的大小，由于E為PD的中點，則不難得出E到面ADC的距離為1，VP﹣AEC=VD﹣AEC=VE﹣ADC= S △ A D C，即可得出結果.
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能正確解答此題．