Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=135°，側面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分別為BC，AD的中點，點M在線段PD上． （Ⅰ）求證：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）如果直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等，求 的值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵在平行四邊形ABCD中，∠BCD=135°，∴∠ABC=45°， ∵AB=AC，∴AB⊥AC．
∵E，F分別為BC，AD的中點，∴EF∥AB，
∴EF⊥AC．
∵側面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，
∴PA⊥底面ABCD．
又EF底面ABCD，
∴PA⊥EF．
又∵PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，
∴EF⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，∴AP，AB，AC兩兩垂直，
以A為原點，分別以AB，AC，AP為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標系如圖：
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0），
∴ =（2，0，﹣2）， =（﹣2，2，﹣2）， ， =（1，1，﹣2）．
設 =λ（0≤λ≤1），則 =（﹣2λ，2λ，﹣2λ），
∴ = =（1+2λ，1﹣2λ，2λ﹣2），
顯然平面ABCD的一個法向量為 =（0，0，1）
設平面PBC的法向量為 =（x，y，z），
則 ，即
令x=1，得 =（1，1，1）．
∴cos＜ ， ＞= = ，cos＜ ＞= = ．
∵直線ME與平面PBC所成的角和此直線與平面ABCD所成的角相等，
∴| |=| |，即 ，
解得 ，或 （舍）．
∴ ．

【解析】（I）由平行四邊形的性質可得AB⊥AC，即EF⊥AC，由面面垂直的性質得出PA⊥平面ABCD，故PA⊥EF，故EF⊥平面PAC；（II）以A為原點建立空間直角坐標系，設 =λ（0≤λ≤1），求出平面PBC，平面ABCD的法向量 及 的坐標，根據線面角相等列方程解出λ．
【考點精析】利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．