Question

（2005•靜安區一模）已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E、F分別在底面正方形的邊AB、BC上，且AE=CF=

2

3

，點G為棱A₁B₁的中點．
（1）在圖中畫出正方體過三點E、F、G的截面，并保留作圖痕跡；
（2）（理）求（1）中的截面與底面ABCD所成銳二面角的大小．
（3）（文）求出直線EC₁與底面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知，EF∥A₁C₁，取B₁C₁中點H，EF∥GH，連接E，F，G，H，即為截面．
（2）建立空間直接坐標系，利用平面EFHG法向量與底面法向量夾角去求截面EFGH與底面ABCD所成銳二面角的大小．
（3））因為C₁C⊥底面ABCD，所以∠C₁EC就是所求的角．在RT△C₁CE中 求解即可．

解答：解：（1）如圖，截面為EFHG        
（2）如圖，建空間直角坐標系，E(2，

2

3

，0)，F(

2

3

，2．，0)，G(2，

1

2

，2)，

FE

=(

4

3

，-

4

3

，0)，

EG

=(0，

1

3

，2)（8分）
平面EFHG法向量為（-6，-6，1），底面法向量為（0，0，1）
設向量夾角θ，cosθ=

1

36+36+1

=

73

73

（12分）
截面EFHG與底面所成銳二面角大小為arccos

73

73

（14分）

（3）∵C₁C⊥底面ABCD，∴∠C₁EC就是所求的角                   （9分）
在RT△C₁CE中，EC=

4+ 16 9

=

2 13

3

，tan∠C1CE=

2×3

2 13

=

3 13

13

（12分）
所以直線EC₁與底面所成角大小為arctg

3 13

13

（14分）

點評：本題主要考查空間線線、線面、面面關系，二面角、線面角的度量、考查化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．