Question

已知函數f（x），若f（x）=x，則稱x為f（x）的“不動點”；若f（f（x））=x，則稱x為f（x）的“穩定點”．記集合A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}
（1）已知A≠∅，若f（x）是在R上單調遞增函數，是否有A=B？若是，請證明．
（2）記|M|表示集合M中元素的個數，問：（i）若函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若|A|=0，則|B|是否等于0？若是，請證明，（ii）若|B|=1，試問：|A|是否一定等于1？若是，請證明．

Answer 1

分析：（1）先用所給定義證明A⊆B，再根據單調性用反證法證明B⊆A；
（2）（i）|A|=0即f（x）=x無實根，分a＞0，a＜0兩種情況即可證明；（ii）先根據定義可證明存在性，再用反證法證明唯一性即可；

解答：（1）證明：有A=B．先證
任取x₀∈A，則f（x₀）=x₀，f（f（x₀））=f（x₀）=x₀，
∴x₀∈B，∴A⊆B；
再證 任取y₀∈B，f（f（y₀））=y₀，
若f（y₀）≠y₀，不妨設f（y₀）＞y₀，
由單調遞增可知：f（f（y₀））＞f（y₀）＞y₀，與f（f（y₀））=y₀矛盾，
同理f（y₀）＜y₀也矛盾，所以f（y₀）=y₀，∴B⊆A，
綜上，A=B．
（2）（i）若|A|=0，則|B|=0，下面證明：
若a＞0，由于f（x）=x無實根，則對任意實數x，f（x）＞x，從而f（f（x））＞f（x）＞x，
故f（f（x））=x無實根；
同理，若a＜0，對任意實數x，f（x）＜x，從而f（f（x））＜f（x）＜x，
故f（f（x））=x也無實根，
所以|B|=0．
（ii）若|B|=1，則|A|=1，下面證明：
存在性：不妨設x₀是B中唯一元素，則f（f（x₀））=x₀，
令f（x₀）=t，f（t）=x₀，那么f（f（t））=f（x₀），而f（x₀）=t，故f（f（t））=t，說明t也是f（f（x））的不動點，
由于f（f（x））只有唯一的不動點，故x₀=t，即f（t）=t，這說明t也是f（x）的不動點，從而存在性得證；
以下證明唯一性：若f（x）還有另外一個不動點m，即f（m）=m，m≠t，
則f（f（m））=f（m）=m，這說明f（f（x））還有另外一個穩定點m與題設矛盾．
故唯一性得證．

點評：本題考查函數單調性、集合運算，考查學生推理論證能力及運用所學知識分析問題解決新問題的能力，綜合性強，難度大．