Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).

（1）求異面直線與所成角的大小；

（2）若直三棱柱的體積為，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

【解析】

（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出異面直線與的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出異面直線與所成角的大小；

（2）連接．由，由已知中，是的中點(diǎn)，面，我們根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)，即可得到，，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理，得到面，故即為四棱錐的高，求出棱錐的底面面積，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)．

依題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，

于是，由，

則異面直線與所成角的大小為．

（2）連接．由，是的中點(diǎn)，得；

由面，面，得．

又，因此面，

由直三棱柱的體積為．可得．

所以，四棱錐的體積為．