Question

【題目】（1）集合，或，對于任意，定義，對任意，定義，記為集合的元素個數，求的值；

（2）在等差數列和等比數列中，，，是否存在正整數，使得數列的所有項都在數列中，若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；

（3）已知當時，有，根據此信息，若對任意，都有，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）為正偶數；（3）；

【解析】

（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，即可得到集合的元素個數；利用倒序相加法及，即可得到答案；

（2）假設存在，對分奇數和偶數兩種情況進行討論；

（3）利用類比推理和分類計數原理可得的值.

（1）由題意得：集合表示方程解的集合，

由于或，所以方程中有個，個，

從而可得到解的情況共有個，

所以.

令，

所以，

所以，

所以，即.

（2）當取偶數時，中所有項都是中的項.

由題意：均在數列中，當時，

，

說明數列的第項是數列中的第項.

當取奇數時，因為不是整數，所以數列的所有項都不在數列中.

綜上所述：為正偶數.

（3）當時，有①

當時，②

又對任意，都有③

所以即為的系數，

可取①中、②中的1；或①中、②中的；或①中、②中的；

或①中的、②中的；

所以.