Question

【題目】已知f（x）=lnx+ax2﹣ax+5，a∈R．
（1）若函數f（x）在x=1處有極值，求實數a的值；
（2）若函數f（x）在區間（0，+∞）內單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞）， ；

∵f（x）在x=1處有極值，∴f′（1）=1+2a﹣a=0；

解得：a=﹣1；

此時 ；

當0＜x＜1時f′（x）＞0，當x＞1時f′（x）＜0，符合題意；

∴實數a的值為﹣1

（2）解：∵函數f（x）在區間（0，+∞）內單調遞增；

∴ 在（0，+∞）恒成立；

即2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）恒成立；

當a＜0時，顯然不符合題意；

當a=0時，1≥0恒成立，符合題意；

當a＞0時，要使 恒成立；

需 ，解得0＜a≤8；

綜上可知實數a的取值范圍是[0，8]

【解析】（1）求導數得到 ，根據f（x）在x=1處有極值便可得到f′（1）=0，從而可求出a的值，并可驗證該值成立；（2）根據f（x）在區間（0，+∞）內單調遞增便可得出f′（x）≥0恒成立，進而得出2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，這樣討論a的值：a＜0，a=0，和a＞0這三種情況，對每種情況驗證是否滿足條件，從而求出實數a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．