Question

【題目】如圖，某自來水公司要在公路兩側(cè)安裝排水管，公路為東西方向，在路北側(cè)沿直線排，在路南側(cè)沿直線排，現(xiàn)要在矩形區(qū)域內(nèi)沿直線將與接通.已知，，公路兩側(cè)排水管費(fèi)用為每米1萬元，穿過公路的部分的排水管費(fèi)用為每米2萬元，設(shè)與所成的小于的角為.

（Ⅰ）求矩形區(qū)域內(nèi)的排水管費(fèi)用關(guān)于的函數(shù)關(guān)系；

（Ⅱ）求排水管的最小費(fèi)用及相應(yīng)的角.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）最小費(fèi)用為萬元，相應(yīng)的角為.

【解析】

（Ⅰ）過作,垂足為,由題意得,利用三角函數(shù)的定義分別表示,的長度,進(jìn)而求解；

（Ⅱ）由（Ⅰ）,設(shè),要求的最小值,可先求的最大值,利用導(dǎo)函數(shù)求得的最大值,進(jìn)而求解.

解:（Ⅰ）如圖,

過作,垂足為,由題意得,

故有,,,

∴

（Ⅱ）由（Ⅰ）設(shè),

則,

令,得,即,得,

∴當(dāng)時(shí),,為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),

∴當(dāng)時(shí),有,此時(shí).

答:排管的最小費(fèi)用為萬元,相應(yīng)的角為.