Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根為S_n－1，n＝1,2,3，….
(1)求a₁，a₂；
(2)猜想數列{S_n}的通項公式，并給出嚴格的證明．

Answer 1

(1) a₁＝. a₂＝ 
(2)猜想S_n＝，n＝1,2,3，….

(1)先令n=1，則s₁-1即a₁-1是方程的一個根，因而建立關于a₁的方程求出a₁的值.同理再利用n=2時，求出a₂.
(2)由條件可知(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0,化簡得S－2S_n＋1－a_nS_n＝0,
然后利用n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1,把a_n代入上式，消去a_n,就找到了s_n與s_n-1之間的遞推關系，求出s₁,s₂,s₃,然后觀察規律，歸納出s_n,再利用數學歸納法證明即可
(1)當n＝1時，x²－a₁x－a₁＝0有一根為S₁－1＝a₁－1，于是(a₁－1)²－a₁(a₁－1)－a₁＝0，解得a₁＝. 當n＝2時，x²－a₂x－a₂＝0有一根為S₂－1＝a₂－， 于是(a₂－)²－a₂(a₂－)－a₂＝0，解得a₂＝ 
(2)由題設(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0，S－2S_n＋1－a_nS_n＝0.當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1，
代入上式得S_n－1S_n－2S_n＋1＝0.①由(1)得S₁＝a₁＝，S₂＝a₁＋a₂＝＋＝.
由①可得S₃＝.由此猜想S_n＝，n＝1,2,3，….
下面用數學歸納法證明這個結論．
(i)n＝1時已知結論成立．
(ii)假設n＝k時結論成立，即S_k＝，當n＝k＋1時，由①得S_k＋1＝，即S_k＋1＝，故n＝k＋1時結論也成立．
綜上，由(i)、(ii)可知S_n＝對所有正整數n都成立．