Question

已知拋物線C：x2=

1

2

y和定點P（1，2），A、B為拋物線C上的兩個動點，且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數．
（I）求證：直線AB的斜率是定值；
（II）若拋物線C在A、B兩點處的切線相交于點M，求M的軌跡方程；
（III）若A′與A關于y軸成軸對稱，求直線A′B與y軸交點P的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設點A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）（x_A≠x_B），直線PA的斜率為k（k≠0），則直線PB的斜率為-k，直線PA的方程為y-2=k（x-1），由

y-2=k(x-1) y=2x2

消y，得2x²-kx+k-2=0，再由韋達定理可以證明直線AB的斜率是定值；
（II）設點M（x，y）由y=2x²，得y'=4x，所以直線MA的方程為：y-y_A=4x_A（x-x_A），同理可得直線MB的方程，所以x=-

yA-yB

4(xA-xB)

+xA+xB=-1，由此能求出動點M的軌跡方程．
（III）由已知，A′(

-k+2

2

，

k2

2

-2k+2)，所以k_A'B=-2k，則直線A'B的方程為y-y_B=k_A'B（x-x_B），由此能求出交點P的縱坐標的取值范圍．

解答：解：（I）設點A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）（x_A≠x_B），直線PA的斜率為k（k≠0），
則直線PB的斜率為-k，直線PA的方程為y-2=k（x-1），
由

y-2=k(x-1) y=2x2

消y，得2x²-kx+k-2=0，
因為點P在曲線C上，
所以由韋達定理得xAxP=xA=

k-2

2

，yA=2+k(xA-1)=

k2

2

-2k+2．
所以A(

k-2

2

，

k2

2

-2k+2)，同理B（

-k-2

2

，

k2

2

+2k+2），（2分）
則kAB=

yA-yB

xA-xB

=

( k2 2 +2k+2)-( k2 2 -2k+2)

-k-2 2 - k-2 2

=-4（4分）
或由xA=

k-2

2

，同理xB=

-k-2

2

，（2分）
∴xA+xB=

k-2

2

+

-k-2

2

=-2，
又y_A=2x_A²，y_B=2x_B²，
∴y_A-y_B=2（x_A+x_B）（x_A-x_B），又x_A≠x_B，
∴kAB=

yA-yB

xA-xB

=2(xA+xB)=2×(-2)=-4．（4分）

（II）設點M（x，y）由y=2x²，得y'=4x，
所以直線MA的方程為：y-y_A=4x_A（x-x_A），①
同理直線MB的方程為：y-y_B=4x_B（x-x_B），②
由①②，得x=-

yA-yB

4(xA-xB)

+xA+xB=-1，③（6分）
把③代入①整理，得y=2-

1

2

k2＜2，
所以動點M的軌跡方程為x=-1（y＜2且y≠-6．（8分）

（III）由已知，A′(

-k+2

2

，

k2

2

-2k+2)，所以k_A'B=-2k，
則直線A'B的方程為y-y_B=k_A'B（x-x_B），
即y-y_B=-2k（x-x_B），（10分）
令x=0整理，得y=-

k2

2

+2＜2．
點P的縱坐標的取值范圍是（-∞，-6）∪（-6，2）．（12分）

點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關系和應用，解題時要認真審題，注意挖掘隱含條件，合理地進行等價轉化．