Question

已知拋物線C：x²=2my（m＞0）和直線l：y=x-m沒有公共點（其中m為常數）．動點P是直線l上的任意一點，過P點引拋物線C的兩條切線，切點分別為M、N，且直線MN恒過點Q（1，1）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知O點為原點，連接PQ交拋物線C于A、B兩點，求

|PA|

| PB|

-

| QA|

| QB|

的值．

Answer 1

分析：（1）對C的函數求導數，設出兩個切點的坐標，求出導函數在切點處的導數值即切線的斜率，利用點斜式寫出切線
PM，PN 的方程，將P的坐標代入得到MN的方程，據直線的點斜式判斷出MN過的定點，據已知求出拋物線C的方程．
（2）設出直線PQ的方程，將直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理得解．

解答：解：（1）如圖，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由y=

x2

2m

，得y′=

x

m

，∴PM的斜率為

x1

m

，PM的方程為y=

x1

m

x-y₁
同理得PN：y=

x2

m

x-y₂，
設P（x₀，y₀）代入上式得 y₀=

x1

m

x₀-y₁，y₀=

x2

m

x₀-y₂，
即（x₁，y₁），（x₂，y₂）滿足方程y₀=

x

m

x₀-y                          
故MN的方程為y=

x0

m

x-y₀=

x0

m

x-（x₀-m）
上式可化為y-m=

x0

m

（x-m），過交點（m，m）
∵MN過交點Q（1，1），
∴m=1
∴拋物線C的方程為x²=2y
（2）設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
則

|PA|

| PB|

-

| QA|

| QB|

=

2x3x4-(1+x0)(x3+x4)+2kx0

(x4-x0)(x4-1)

…（Ⅰ）
∵P（x₀，y₀），Q（1，1）
∴PQ直線方程為y-1=

y0-1

x0-1

（x-1），
與x²=2y聯立化簡x²-

2y0-2

x0-1

x+

2y0-2

x0-1

-2=0
∴x₃x₄=

2y0-2x0

x0-1

…①，x₃+x₄=

2y0-2

x0-1

…②
把①②代入（Ⅰ）式中，
則分子2x₃x₄-（1+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=

4y0-2(y0-1)(1+x0) +x 2 0 -6x0

x0-1

…（Ⅱ）
又P點在直線y=kx-1上，
∴y₀=kx₀-1代入（Ⅱ）中得：2x₃x₄-（1+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=0
∴

|PA|

| PB|

-

| QA|

| QB|

=

2x3x4-(1+x0)(x3+x4)+2kx0

(x4-x0)(x4-1)

=0

點評：解決直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般是設出直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯立，消去一個未知數，得到關于一個未知數的二次方程，然后利用韋達定理找突破口．