Question

（本小題滿分13分）已知函數（其中且為常數）的圖像經過點A、B．是函數圖像上的點，是正半軸上的點．
(1) 求的解析式；
(2) 設為坐標原點，是一系列正三角形，記它們的邊長是，求數列的通項公式；
(3) 在(2)的條件下，數列滿足，記的前項和為，證明：。

Answer 1

（1）；（2）；（3），所以
.，兩式相減得：，整理得：.

試題分析：（1）.
（2）由.
由 
將代人，由此原問題轉化為:
“已知且，求”.
又，兩式相減可得：

又，因為，所以, 
從而是以為首項，為公差的等差數列，即.
(3) ，所以
.
兩式相減得：
整理得：.
點評：錯位相減法是一種常用的數列求和方法，應用于等比數列與等差數列相乘的形式。 形如A_n=B_nC_n，其中B_n為等差數列，C_n為等比數列；分別列出S_n，再把所有式子同時乘以等比數列的公比，即qS_n；然后錯一位，兩式相減即可。