Question

數列{a_n}滿足a₁=2，對于任意的n∈N^*都有a_n＞0,且(n+1)a_n²+a_n·a_n+1－na_n+1²=0，又知數列{b_n}的通項為b_n=2^n－1+1. 

(1)求數列{a_n}的通項a_n及它的前n項和S_n；

(2)求數列{b_n}的前n項和T_n；

(3)猜想S_n與T_n的大小關系，并說明理由.

Answer 1

(1) S_n=n²+n，(2) T_n=2ⁿ+n－1 (3) 猜想當n≥5時，T_n＞S_n，即2ⁿ＞n²+1

解析:

  (1）可解得，從而a_n=2n，有S_n=n²+n，

(2)T_n=2ⁿ+n－1.

(3)T_n－S_n=2ⁿ－n²－1，驗證可知，n=1時，T₁=S₁，n=2時T₂＜S₂；n=3時，T₃＜S₃;n=4時，T₄＜S₄；n=5時，T₅＞S₅；n=6時T₆＞S₆

猜想當n≥5時，T_n＞S_n，即2ⁿ＞n²+1

可用數學歸納法證明(略）.