Question

如圖，斜率為1的直線l過拋物線Ω：y²＝2px(p＞0)的焦點F，與拋物線交于兩點A，B．

(1)若|AB|＝8，求拋物線Ω的方程；

(2)設C為拋物線弧AB上的動點(不包括A，B兩點)，求△ABC的面積S的最大值；

(3)設P是拋物線Ω上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別交拋物線的準線于M，N兩點，證明M，N兩點的縱坐標之積為定值(僅與p有關)

Answer 1

答案：
解析：

解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 　　(1)由條件知直線 　　由消去y，得　　1分 　　由題意，判別式(不寫，不扣分) 　　由韋達定理， 　　由拋物線的定義， 　　從而4p＝8，2p＝4所求拋物的方程為y2＝4x　　3分 　　(2)設．由(1)易求得 　　則　　4分 　　點C到直線的距離 　　將原點O(0，0)的坐標代入直線的左邊， 　　得 　　而點C與原點O們于直線的同側，由線性規劃的知識知 　　因此　　6分 　　由(1)，|AB|＝4p． 　　 　　 　　由 　　知當y0＝p時，　　8分 　　(3)由(2)，易得 　　設 　　將代入直線PA的方程 　　得 　　同理直線PB的方程為 　　將代入直線PA，PB的方程得 　　　　10分 　　 　　 　　 　　　　12分