Question

已知函數f(x)=lnx，g(x)=

2a2

x2

(a＞0)，設F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求F（x）的單調區間；
（2）若以H(x)=f(x)+

2g(x)

，圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤1恒成立，求實數a的最小值；
（3）是否存在實數m，使得函數p(x)=g(

4a2 x2+1

)+m-1的圖象與q（x）=f（1+x²）的圖象恰好有四個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由f（x）和g（x）構造得到F（x）的解析式，利用導數大于0得增區間，小于0得減區間．
（2） 切線的斜率k≤1恒成立即導數小于等于1恒成立，從而建立起a與x的關系式，利用恒成立求得a．
 （3）p（x）與q（x）的圖象有四個不同的交點轉化成方程有四個不同的根，分離出m后，轉化成新函數的最大值和最小值．

解答：解．（1）F(x)=f(x)+g(x)=lnx+

a2

x2

(x＞0)
F′(x)=

1

x

-

4a2

x3

=

x2-4a2

x3

(x＞0)
∵a＞0，由F'（x）＞0?x∈（2a，+∞），
由F'（x）＜0?x∈（0，2a）．
∴F（x）的單調遞減區間為（0，2a），
單調遞增區間為（2a，+∞）
（2）H(x)=f(x)+

2g(x)

=lnx+

2a

x

，
H′(x)=

1

x

-

2a

x2

≤1(x＞0)，
則2a≥-x2+x，又-x2+x≤

1

4

，故2a≥

1

4

，a≥

1

8

，
所以實數a的最小值為

1

8

．
（3）若p(x)=g(

4a2 x2+1

)+m-1=

1

2

x2+m-

1

2

的圖象
與q（x）=f（1+x²）=ln（x²+1）的圖象恰有四個不同交點，
即

1

2

x2+m-

1

2

=ln(x2+1)有四個不同的根，
亦即m=ln(x2+1)-

1

2

x2+

1

2

有四個不同的根．
令G(x)=ln(x2+1)-

1

2

x2+

1

2

，
則G′(x)=

2x

x2+1

-x=

2x-x3-x

x2+1

=

-x(x+1)(x-1)

x2+1

．
當x變化時G'（x）．G（x）的變化情況如下表：

由表格知：G(0)=

1

2

，G(1)=G(-1)=ln2＞0．
又因為G(2)=G(-2)=ln5-2+

1

2

＜

1

2

可知，當m∈(

1

2

，ln2)時，
方程m=ln(x2+1)-

1

2

x2+

1

2

有四個不同的解．
∴當m∈(

1

2

，ln2)時，y=g(

2a

x2+1

)+m-1=

1

2

x2+m-

1

2

的圖象與
y=f（1+x²）=ln（x²+1）的圖象恰有四個不同的交點．

點評：本題是個難題，主要考查了導數在函數單調性和最值中的應用，同時考查了導數的幾何意義和恒成立問題．
注意函數的定義域，分離參數在解決恒成立問題中的應用．