Question

已知f(x)是定義在(－∞，＋∞)上且以2為周期的函數，當x∈[0，2]時，其解析式為f(x)＝|x－1|．

(Ⅰ)作出f(x)在(－∞，＋∞)上的圖像；(注：請將圖像畫在模擬答題卡所給出的直角坐標系中．)

(Ⅱ)寫出f(x)在[2k，2k＋2](k∈Z)上的解析式，并證明f(x)是偶函數．

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查函數的圖像與性質等基礎知識，考查運算能力和邏輯推理能力． 　　解：(Ⅰ)先畫出x∈[0，2]時f(x)＝|x－1|的圖像，然后將圖像向左、右平移2|k|(k∈Z)個單位，就得到f(x)在(－∞，＋∞)上的圖像，如下圖所示． 　　(Ⅱ)設x∈[2k，2k＋2]，則x－2k∈[0，2]，　　∵f(x)是以2為周期的函數， 　　∴f(x)＝f(x－2k)＝|x－2k－1|． 　　即f(x)＝|x－2k－1|，x∈[2k，2k＋2](k∈Z)． 　　下面證明f(x)是偶函數． 　　設x∈[2k，2k＋2](k∈Z)，則－x∈[－2k－2，－2k]． 　　∴(－x＋2k＋2)∈[0，2]．　　由f(x)的周期性，可知 　　f(－x)＝f(－x＋2k＋2)＝|(－x＋2k＋2)－1|＝|x－2k－1|＝f(x)． 　　∴f(x)是偶函數