【題目】已知z為虛數,z+
為實數.
(1)若z-2為純虛數,求虛數z.
(2)求|z-4|的取值范圍.
【答案】（1）z=2+3i或z=2-3i；（2）(1,5).
【解析】
試題（1）設
，根據
為純虛數求得
的值，再由
為實數求出
的值，即可得到復數
；
（2）由為實數且
可得
，由此求得的范圍，根據復數的模的定義把要求的式子可化為
，從而求得范圍.
試題解析：
(1)設z=x+yi(x,y∈R,y≠0),則z-2=x-2+yi,
由z-2為純虛數得x=2,所以z=2+yi,則z+
=2+yi+
=2+
i∈R,得y-
=0,y=±3,所以z=2+3i或z=2-3i.
(2)因為z+=x+yi+
=x+
+
i∈R,
所以y-
=0,
因為y≠0,所以(x-2)2+y2=9,
由(x-2)2<9,得x∈(-1,5),
所以|z-4|=|x+yi-4|=
=
=
∈(1,5).
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【題目】如圖所示，正方形
的邊長為
，已知
，將
沿
邊折起，折起后
點在平面
上的射影為
點，則翻折后的幾何體中有如下描述：①
與
所成角的正切值為
；②
；③
；④平面
平面
，其中正確的命題序號為___________．
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【題目】圓臺的上、下底面半徑分別為
、
，母線長
，從圓臺母線
的中點
拉一條繩子繞圓臺側面轉到
點（
在下底面），求：
（1）繩子的最短長度；
（2）在繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離．
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【題目】如圖，已知三棱柱
的側棱垂直于底面，
，
，點
，
分別為
和
的中點.
（1）若
，求三棱柱的體積；
（2）證明：
平面
；
（3）請問當
為何值時，
平面
，試證明你的結論.
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【題目】已知數列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
（n∈N*）
（Ⅰ）證明當n≥2時，數列{nan}是等比數列，并求數列{an}的通項an；
（Ⅱ）求數列{n2an}的前n項和Tn；
（Ⅲ）對任意n∈N*，使得
恒成立，求實數λ的最小值．
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【題目】如圖，一輛汽車從
市出發沿海岸一條筆直公路以每小時
的速度向東均速行駛，汽車開動時，在
市南偏東方向距
市
且與海岸距離為
的海上
處有一快艇與汽車同時出發，要把一份稿件交給這汽車的司機.
（1）快艇至少以多大的速度行駛才能把稿件送到司機手中？
（2）在（1）的條件下，求快艇以最小速度行駛時的行駛方向與
所成的角.
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【題目】在平面直角坐標系中，已知直線l過點
.
（1）若直線l的縱截距和橫截距相等，求直線l的方程；
（2）若直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為
，求直線l的方程.
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【題目】為有效預防新冠肺炎對老年人的侵害，某醫院到社區檢查老年人的體質健康情況．從該社區全體老年人中，隨機抽取12名進行體質健康測試，根據測試成績（百分制）繪制莖葉圖如下．根據老年人體質健康標準，可知成績不低于80分為優良，且體質優良的老年人感染新冠肺炎的可能性較低．
（Ⅰ）從抽取的12人中隨機選取3人，記
表示成績優良的人數，求的分布列及數學期望；
（Ⅱ）將頻率視為概率，根據用樣本估計總體的思想，在該社區全體老年人中依次抽取10人，若抽到
人的成績是優良的可能性最大，求的值．
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