Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bx+c，x∈[-1，1]，證明：當(dāng)b＜-2時，在其定義域范圍內(nèi)至少存在一個x，使|f（x）|≥

1

2

成立．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：運用反證法求解：假設(shè)不存在這樣的x時，使|f（x）|＜

1

2

成立．得出0＜b＜2，與b＜-2矛盾，即可證明原結(jié)論正確．

解答： 證明：假設(shè)不存在這樣的x時，使|f（x）|＜

1

2

成立．
x=0，x=-1代入得出：-

1

2

＜1-b+c＜

1

2

，-

1

2

＜c＜

1

2

即-

1

2

＜b-c＜

3

2

，-

1

2

＜c＜

1

2

，
兩式相加得出：0＜b＜2，與b＜-2矛盾，
故假設(shè)不正確，
所以當(dāng)b＜-2時，在其定義域范圍內(nèi)至少存在一個x，使|f（x）|≥

1

2

成立．

點評：本題考查了運用反證法證明不等式問題，屬于中檔題，關(guān)鍵是推理矛盾．