Question

若對于定義在R上的函數f（x），其圖象是連續不斷的，且存在常數λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意的實數x恒成立，則稱f（x）是“λ-同伴函數”．下列關于“λ-同伴函數”的命題：
①“

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2

-同伴函數”至少有一個零點； 
②f（x）=x²是“λ-同伴函數”；
③f（x）=2^x是“λ-同伴函數”；      
④f（x）=0是唯一一個常值“λ-同伴函數”．
其中正確的命題個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由定義，得出條件方程．然后令x=0，可得f（

1

2

）=-

1

2

f（0），若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數根；若f（0）≠0，f（

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2

）•f（0）＜0，由此可得結論．
②可以用反證法，舉出反例．③設由條件方程，得到2^λ+λ=0，從而結合圖象能確定方程到2^λ+λ=0有解，從而滿足定義．
④設f（x）=C是一個“λ-伴隨函數”，則（1+λ）C=0，當λ=-1時，可以取遍實數集，因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ-伴隨函數”

解答：①令x=0，得f（

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）+

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2

f（0）=0，所以f（

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2

）=-f（0）．若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數根；若f（0）≠0，f（

1

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）•f（0）=-（f（0））²＜0．
又因為f（x）的函數圖象是連續不斷，所以f（x）在（0，

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2

）上必有實數根．因此任意的“-伴隨函數”必有根，即任意“-伴隨函數”至少有一個零點，故①正確
②用反證法，假設f（x）=x²是一個“λ-伴隨函數”，則（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實數x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個“λ-伴隨函數”，故②不正確；
③設f（x）=2^x是“λ-同伴函數”，則2^x+λ+λ?2^x=0，即2^x?2^λ+λ?2^x=0，所以2^λ+λ=0，即2^λ=-λ．作出函數y=2^x，y=-x，由圖象可知2^λ=-λ．，有唯一解，所以③f（x）=2^x是“λ-同伴函數”．
④設f（x）=C是一個“λ-伴隨函數”，則（1+λ）C=0，當λ=-1時，可以取遍實數集，因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ-伴隨函數”，故④不正確．
所以正確的命題是①③．
故選B．

點評：本題考查的知識點是函數的概念及構成要素，函數的零點，正確理解f（x）是λ-同伴函數的定義，是解答本題的關鍵．