Question

【題目】在某校組織的一次籃球定點投籃訓練中，規定每人最多投3次；在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學在A處的命中率q1為0.25，在B處的命中率為q2 ， 該同學選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用ξ表示該同學投籃訓練結束后所得的總分，其分布列為：

ξ	0	2	3	4	5
p	0.03	0.24	0.01	0.48	0.24

（1）求q2的值；
（2）求隨機變量ξ的數學期望Eξ；
（3）試比較該同學選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：設該同學在A處投中為事件A，

在B處投中為事件B，則事件A，B相互獨立，

且P（A）=0.25，P（ ）=0.75，P（B）=q2，P（ ）=1﹣q2．

根據分布列知：ξ=0時P（ ）=P（ ）P（ ）P（ ）=0.75（1﹣q2）2=0.03，

所以1﹣q2=0.2，q2=0.8

（2）解：當ξ=2時，P1=P=（ B + B）=P（ B ）+P（ B）

=P（ ）P（B）P（ ）+P（ ）P（ ）P（B）

=0.75q2（1﹣q2）×2=1.5q2（1﹣q2）=0.24

當ξ=3時，P2=P（A ）=P（A）P（ ）P（ ）=0.25（1﹣q2）2=0.01，

當ξ=4時，P3=P（ BB）P（ ）P（B）P（B）=0.75q22=0.48，

當ξ=5時，P4=P（A B+AB）=P（A B）+P（AB）

=P（A）P（ ）P（B）+P（A）P（B）=0.25q2（1﹣q2）+0.25q2=0.24

隨機變量ξ的數學期望Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63

（3）解：該同學選擇都在B處投籃得分超過（3分）的概率為P（ BB+B B+BB）

=P（ BB）+P（B B）+P（BB）=2（1﹣q2）q22+q22=0.896；

該同學選擇（1）中方式投籃得分超過3分的概率為0.48+0.24=0.72．

由此看來該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大

【解析】（1）記出事件，該同學在A處投中為事件A，在B處投中為事件B，則事件A，B相互獨立，根據相互獨立事件同時發生的概率得到結果．（2）根據上面的做法，做出分布列中四個概率的值，寫出分布列算出期望，過程計算起來有點麻煩，不要在數字運算上出錯．（3）要比較兩個概率的大小，先要把兩個概率計算出來，根據相互獨立事件同時發生的概率公式，進行比較．