Question

（2013•靜安區(qū)一模）某倉(cāng)庫(kù)為了保持庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施．該設(shè)施的下部ABCD是正方形，其中AB=2米；上部CDG是等邊三角形，固定點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持和AB平行的伸縮橫桿．
（1）設(shè)MN與AB之間的距離為x米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關(guān)于x的函數(shù)；
（2）求△EMN的面積S（平方米）的最大值．

Answer 1

分析：（1）分類(lèi)求出MN在矩形區(qū)域、三角形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，△EMN的面積，可得分段函數(shù)；
（2）分類(lèi)求出△EMN的面積的最值，比較其大小，即可得到最值．

解答：解：（1）①如圖1所示，當(dāng)MN在正方形區(qū)域滑動(dòng)，
即0＜x≤2時(shí)，△EMN的面積S=

1

2

×2×x=x；（2分）
②如圖2所示，當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)，即2＜x＜2+

3

時(shí)，連接EG，交CD于點(diǎn)F，交MN于點(diǎn)H，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴F為CD中點(diǎn)，GF⊥CD，且FG=

3

．
又∵M(jìn)N∥CD，
∴△MNG∽△DCG．
∴

MN

DC

=

GH

GF

，即MN=

2( 3 +2-x)

3

．（5分）
故△EMN的面積S=

1

2

•

2( 3 +2-x)

3

•x=-

3

3

x2+(1+

2 3

3

)x； （7分）
綜合可得：S=

x，0＜x≤2 - 3 3 x2+(1+ 2 3 3 )x，2＜x＜2+ 3

（8分）
說(shuō)明：討論的分段點(diǎn)x=2寫(xiě)在下半段也可．
（2）①當(dāng)MN在正方形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，S=x，所以有0＜S≤2；（10分）
②當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，S=-

3

3

x2+(1+

2 3

3

)x．
因而，當(dāng)x=1+

3

2

＜2（米），S在(2，2+

3)

上遞減，無(wú)最大值，0＜S＜2．
所以當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值，最大值為2平方米．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的建立，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定分段函數(shù)是關(guān)鍵．