Question

已知圓.

（1）設點是圓C上一點，求的取值范圍；
（2）如圖，為圓C上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足求的軌跡的內接矩形的最大面積.

Answer 1

解：（文）（1）由題意知所求的切線斜率存在，設其方程為，

即；……2分
由得，解得，…………………5分
從而所求的切線方程為，.…………………6分
（2）
∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|.…………………………………8分
又
∴動點N的軌跡是以點C（－1，0），A（1，0）為焦點的橢圓.………………12分
且橢圓長軸長為焦距2c="2.  "
∴點N的軌跡是方程為………………………………………14分
（理）（1）∵點在圓C上，∴可設；………2分
，…………………………4分
從而.…………………………………………6分
（2）
∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|.……………………………8分
又
∴動點N的軌跡是以點C（－1，0），A（1，0）為焦點的橢圓.…………10分
且橢圓長軸長為焦距2c="2.  "
∴點N的軌跡是方程為…………………………12分
所以軌跡E為橢圓，其內接矩形的最大面積為.………………14分

略