Question

【題目】（12分）

已知函數(shù)（a為實(shí)數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖像在處的切線方程；

（2）求在區(qū)間上的最小值；

（3）若存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，使方程成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）.

（3）.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再分別求出和，即可求得函數(shù)的圖像在處的切線方程；（2）先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)單調(diào)性，即可求得在區(qū)間上的最小值；（3）存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，使方程成立等價(jià)于有兩個(gè)不等的解，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，，故切線的斜率為，所以切線方程為，即.

(2) ，

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)，為減函數(shù)，在區(qū)間上，為增函數(shù)，所以.

(3)由，可得，則，令，則，

因?yàn)?/span>，所以，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.