Question

【題目】某醫藥開發公司實驗室有瓶溶液，其中瓶中有細菌，現需要把含有細菌的溶液檢驗出來，有如下兩種方案：

方案一：逐瓶檢驗，則需檢驗次；

方案二：混合檢驗，將瓶溶液分別取樣，混合在一起檢驗，若檢驗結果不含有細菌，則瓶溶液全部不含有細菌；若檢驗結果含有細菌，就要對這瓶溶液再逐瓶檢驗，此時檢驗次數總共為.

(1)假設，采用方案一，求恰好檢驗3次就能確定哪兩瓶溶液含有細菌的概率；

(2)現對瓶溶液進行檢驗，已知每瓶溶液含有細菌的概率均為.

若采用方案一.需檢驗的總次數為,若采用方案二.需檢驗的總次數為.

(i)若與的期望相等.試求關于的函數解析式;

(ii)若,且采用方案二總次數的期望小于采用方案一總次數的期望.求的最大值.

參考數據：

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）（ii）8

【解析】

（1）對可能的情況分類：<1>前兩次檢驗出一瓶含有細菌第三次也檢驗出一瓶含有細菌，<2>前三次都沒有檢驗出來，最后就剩下兩瓶含有細菌；（2）(i)根據，找到與的函數關系；(ii)根據得到關于的不等式式，構造函數解決問題.

解：（1）記所求事件為，“第三次含有細菌且前2次中有一次含有細菌”為事件，“前三次均不含有細菌”為事件，

則，且互斥，

所以

（2），

的取值為，

，

所以，

由得，

所以；

（ii）,所以，

所以，所以

設，

，

當時，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減

又，

所以的最大值為8