Question

統計中常用相關系數，一來衡量兩個變量x、y之間線性相關關系的強弱，其計算公式是r=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2 n i=1 (yi- . y )2

其中（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）是散點圖中的樣本點，

.

x

=

1

n

n

i=1

xi，

.

y

=

1

n

n

i=1

yi試證明：r=

n i=1 xiyi-n . x . y

[ n i=1 xi2-n . x 2][ n i=1 yi2-n . y 2]

．

Answer 1

分析：利用完全平方公式和平均數的計算公式分別把分子分母展開計算即可證明．

解答：證明：∵

n

i=1

(xi-

.

x

)2=(

x

2 1

-2x1

.

x

+

.

x

2)+…+(

x

2 n

-2xn

.

x

+

.

x

2)
=(

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

)-2

.

x

(x1+x2+…+xn)+n

.

x

2
=

n

i=1

x

2 i

-2n

.

x

2+n

.

x

2=

n

i=1

x

2 i

-n

.

x

2．
同理

n

i=1

(yi-

.

y

)2=

n

i=1

y

2 i

-n

.

y

2．
又

n

i=1

(xi-

.

x

)(yi-

.

y

)=(x1-

.

x

)(y1-

.

y

)+…+(xn-

.

x

)(yn-

.

y

)
=(x1y1-x1

.

y

-y1

.

x

)+(x2y2-x2

.

y

-y2

.

x

)+…+(xnyn-xn

.

y

-yn

.

x

)+n

.

x

.

y

=

n

i=1

xiyi-n

.

x

.

y

-n

.

x

.

y

+n

.

x

.

y

=

n

i=1

xiyi-n

.

x

.

y

．
故r=

n i=1 xiyi-n . x . y

[ n i=1 x 2 i -n . x 2][ n i=1 y 2 i -n . y 2]

．

點評：熟練掌握完全平方公式和平均數的計算公式是解題使得關鍵．