Question

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，一條準線l：x＝2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設O為坐標原點，M是l上的點，F為橢圓C的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓D交于P，Q兩點．
①若PQ＝，求圓D的方程；
②若M是l上的動點，求證點P在定圓上，并求該定圓的方程．

Answer 1

(1) ＋y²＝1 (2)①(x－1)²＋(y－1)²＝2或(x－1)²＋(y＋1)²＝2②點P在定圓x²＋y²＝2上

(1)由題設：，∴，∴b²＝a²－c²＝1，
∴橢圓C的方程為：＋y²＝1.
(2)①由(1)知：F(1,0)，設M(2，t)，
則圓D的方程：(x－1)²＋ ²＝1＋，
直線PQ的方程：2x＋ty－2＝0，
∵PQ＝，∴2＝，
∴t²＝4，∴t＝±2.
∴圓D的方程：(x－1)²＋(y－1)²＝2或(x－1)²＋(y＋1)²＝2.
②設P(x₀，y₀)，
由①知：，
即：，
消去t得：＝2，
∴點P在定圓x²＋y²＝2上