Question

已知點A、B在拋物線y²=2x上且位于x軸的兩側，

OA

•

OB

=3（其中O為原點），則直線AB所過的定點坐標是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先設直線方程和點的坐標，聯立直線與拋物線的方程得到一個一元二次方程，再利用韋達定理及

OA

•

OB

=3消元，最后可得定點坐標．

解答： 解：設直線AB的方程為：x=ty+m，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB與x軸的交點為M（m，0），
x=ty+m代入y²=2x，可得y²-2ty-2m=0，根據韋達定理有y₁•y₂=-2m，
∵

OA

•

OB

=3，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=3，從而

1

4

（y₁•y₂）²+y₁•y₂-3=0，
∵點A，B位于x軸的兩側，
∴y₁•y₂=-6，故m=3．
當y=0時，x=3恒成立，
故直線AB所過的定點坐標是（3，0），
故答案為：（3，0）．

點評：求解本題時，應考慮聯立直線與拋物線的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韋達定理與已知條件消元，這是處理此類問題的常見模式．