Question

【題目】已知橢圓C的右焦點F（1，0），過F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，當l垂直于x軸時，|AB|=3．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）在x軸上是否存在點T，使得 為定值？若存在，求出點T坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓C的標準方程為 =1，a＞b＞0，

由已知可得： =3，c=1，

又a2=b2+c2，

解得 ，

故所求橢圓C的方程為 =1

（2）解：設存在滿足條件的點T（t，0），

當直線AB斜率不為0時，可設直線AB為x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

將x=my+1代入C得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，

顯然△＞0，且y1+y2= ，y1y2= ，x1+x2= ，x1x2= ．

∴ =（x1﹣t）（x2﹣t）+y1y2=x1x2﹣t（x1+x2）+t2+y1y2= +t2﹣2t+1，

要使 為定值須有 = ，得t= ，

此時T（ ，0）， 為定值﹣ ．

當直線AB斜率為0時， =﹣ ．

故存在點T（ ，0）滿足題設

【解析】（1）設橢圓C的標準方程為 =1，a＞b＞0．，由已知可得： =3，c=1，又a2=b2+c2 ， 解出即可得出．（2）設存在滿足條件的點T（t，0），當直線AB斜率不為0時，可設直線AB為x=my+1，將直線方程代入C得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，利用根與系數的關系、向量數量積運算性質可得： = +t2﹣2t+1，要使 為定值須有 = ，得t，即可得出；當直線AB斜率為0時， 直接得出．