Question

【題目】設函數f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R
（1）證明：函數f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R的圖象恒經過一個定點；
（2）若函數h（x）= f′（x）在（0，+∞）有定義，且不等式h（x）≤0在（0，+∞）上有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：x=1時，f（1）=0，

故f（x）恒過（1，0）點

（2）解：∵f′（x）=2（x﹣a）lnx+ ，

∴h（x）=2xlnx+x﹣a，（x＞0），

若不等式h（x）≤0在（0，+∞）上有解，

則a≥（2xlnx+x）min即可，

令m（x）=2xlnx+x，（x＞0），則m′（x）=3+2lnx，

令m′（x）＞0，解得：x＞ ，令m′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

∴m（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，

∴m（x）min=m（ ）=﹣2 ，

∴a∈[ ，+∞）．

【解析】（1）求出x=1時，f（1）=0，得到函數f（x）恒過（1，0）即可；（2）問題轉化為a≥（2xlnx+x）min即可，令m（x）=2xlnx+x，（x＞0），根據函數的單調性求出m（x）的最小值，從而求出a的范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．