Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，，.

（1）求證：平面；

（2）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接交于點(diǎn)，由重心性質(zhì)可得，由相似可得，最后根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論（2）取上一點(diǎn)使 ，利用平行進(jìn)行等體積代換，最后根據(jù)錐體體積公式求體積

試題解析：解：（1）(法一)連接交于點(diǎn)，連接

由分別是棱中點(diǎn)，故點(diǎn)為的重心

在中，有

，又平面

平面

（法二）取的中點(diǎn)，連接

由是棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，

為的中位線，即平面

又為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)

由，由，且為直三棱柱

，進(jìn)而得

，即平面

又 平面平面

又平面 平面

(2)取上一點(diǎn)使

∵且直三棱柱

∴，∵為中點(diǎn)

∴,,平面

∴

而,

點(diǎn)到平面的距離等于

∴

∴三棱錐的體積為