Question

（2012•崇明縣二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點(diǎn)，AB=2，AP=2．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AF-C的大小．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定證明BD⊥平面PAC，證明AC⊥BD、PA⊥BD即可；
（2）以A為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，求出平面FAE法向量

n

=(1，-2，1)，

BD

=(2，-2，0)，利用向量的夾角公式，即可求二面角E-AF-C的大小．

解答：（1）證明：∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD
∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC；
（2）解：以A為原點(diǎn)，如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），E（2，1，0），F(xiàn)（1，1，1）
∴

AE

=(2，1，0)，

AF

=(1，1，1)
設(shè)平面FAE法向量為

n

=（x，y，z），則

2x+y=0 x+y+z=0

，∴可取

n

=(1，-2，1)
∵

BD

=(2，-2，0)，
∴cosθ=|

n • BD

| n || BD |

|=|

2+4

2 2 × 6

|=

3

2

所以θ=

π

6

，即二面角E-AF-C的大小為

π

6

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，二面角的求法，其中建立空間直角坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．