Question

【題目】設函數f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，記g（x）= ，若函數g（x）至少存在一個零點，則實數m的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，e2+ ]
B.（0，e2+ ]
C.（e2+ ，+∞]
D.（﹣e2﹣ ，e2+ ]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx的定義域為（0，+∞），

又∵g（x）= ，

∴函數g（x）至少存在一個零點可化為

函數f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx至少有一個零點；

即方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，

則m= =﹣x2+2ex+ ，

m′=﹣2x+2e+ =﹣2（x﹣e）+ ；

故當x∈（0，e）時，m′＞0，

當x∈（e，+∞）時，m′＜0；

則m=﹣x2+2ex+ 在（0，e）上單調遞增，

在（e，+∞）上單調遞減，

故m≤﹣e2+2ee+ =e2+ ；

又∵當x+→0時，m=﹣x2+2ex+ →﹣∞，

故m≤e2+ ；

故選A．

【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．