Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，離心率為，且．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若，試判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）先利用離心率得出再根據(jù)得出，由，向量數(shù)量積坐標(biāo)化即可；

（2）直線斜率不存在和斜率為0時得出定值，斜率存在時設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用弦長公式求出再利用垂直得出點(diǎn)P坐標(biāo)，以此求出的數(shù)值.最后求得和為定值.

（Ⅱ）設(shè)，，

因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，因?yàn)?/span>，所以．

因?yàn)?/span>，所以，，

又，所以，即，解得（負(fù)值舍去），

所以，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時，，，

此時；

當(dāng)直線的斜率為時，，，此時；

當(dāng)直線的斜率存在且不為時，

設(shè)直線的方程為，，．

將代入，消去可得，

則，，

所以，

因?yàn)?/span>，所以直線的方程為，

設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以由可得，

所以，

所以．

綜上，為定值，該定值為．