Question

已知正數a，b滿足a+b=1．
（1）求

2a+1

+

2b+1

的最大值；
（2）求

1

a

+

2

b

的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出

2a+1

+

2b+1

的平方的表達式，利用基本不等式求出ab的最大值，然后求出所求表達式的最大值；
（2）對于

1

a

+

2

b

的兩邊同乘a+b，然后利用基本不等式直接求出函數的最小值．

解答：解：（1）(

2a+1

+

2b+1

)2=2a+1+2b+1+2

(2a+1)(2b+1)

=4+2

4ab+3

，
因為正數a，b滿足a+b=1，ab≤ (

a+b

2

)2 =

1

4

；
當且僅當a=b=

1

2

時取等號，
∴(

2a+1

+

2b+1

)2=4+2

4ab+3

≤8，
當且僅當a=b=

1

2

時，

2a+1

+

2b+1

的最大值為：2

2

．

（2）因為

1

a

+

2

b

=(

1

a

+

2

b

)(a+b)=3+

b

a

+

2a

b

≥3+2

a b • 2b a

=3+2

2

．當且僅當a²=2b²，時取等號．
所求最小值為：3+2

2

．

點評：考查基本不等式的應用，函數在表達式的最值的求法，考查轉化思想，計算能力．