Question

【題目】如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長為4，點在棱上，點在棱上，且.在側面內以為一個頂點作邊長為1的正方形，側面內動點滿足到平面距離等于線段長的倍，則當點運動時，三棱錐的體積的最小值是( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

建立空間直角坐標系，求出P的軌跡方程，確定三棱錐A﹣HPI的體積最小時，P的坐標，即可得出結論．

解：建立空間直角坐標系，如圖所示

設P（x，4，z），則F（1，4，3），N（0，4，z），且4≥x≥0，4≥z≥0；

∵PNPF，∴＝2（x﹣1）2+2（z﹣3）2，

化簡得+（z﹣3）2，P點軌跡為橢圓，

∴三棱錐A﹣HPI的體積最小，P點處的切線平行于BI，

∵A（4，0，0），H（0，0，1），I（0，4，1），

∴（﹣4，0，1），（﹣4，4，1），

設平面AHI的法向量為（x，y，z），則，

∴（1，0，4），

∵（，4，）∴P到平面AHI的距離為

∵+（z﹣3）2

設，

則，

∴三棱錐A﹣HPI的體積的最小值是

故選：B．