Question

【題目】已知橢圓： 的離心率，且過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，過橢圓的右焦點作兩條相互垂直的直線交橢圓分別于，且滿足， ，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）時， 的面積取得最大值.

【解析】試題分析：

(1)利用題意列出 的方程組，求得 的值即可求得橢圓的方程；

(2)設出直線 的方程，聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理求得 的值，則 ，最后利用均值不等式求解三角形面積的最大值即可.

試題解析：

（1）根據條件有，解得，所以橢圓．

（2）根據， 可知， 分別為的中點，且直線斜率均存在且不為0，現設點，直線的方程為，不妨設，聯立橢圓有，根據韋達定理得： ， ，

， ，同理可得，

所以面積，現令，

那么，所以當， 時， 的面積取得最大值．