Question

【題目】已知長方形， ， ，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

(1)求以為焦點(diǎn)，且過兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)在(1)的條件下，過點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)，點(diǎn)坐標(biāo)為，若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）確定的坐標(biāo)，利用橢圓的定義，求出幾何量，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量知識，結(jié)合配方法，即可求的取值范圍.

試題解析：(1)由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， ， .設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則，∴.∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)由題意容易驗(yàn)證直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為.代入中，得.設(shè)， ，由根與系數(shù)關(guān)系，得①，②，∵，∴且，將上式①的平方除以②，得，即，所以，由 ，即.∵， ， ，又， .故 .令，∵，∴， ， ，∵，∴， .