Question

用平行于四面體ABCD的一組對棱AC和BD的平面截此四面體，得一四邊形MNPQ，如圖所示.

(1)求證：MNPQ是平行四邊形.

(2)若AC=BD，能截得菱形嗎，如何截？

(3)在什么情況下，可以截得一個矩形？

(4)在什么情況下，能截得一個正方形呢，如何截？

(5)若AC=BD=a，求證：平行四邊形MNPQ的周長一定.

Answer 1

思路解析：本題以線面、面面的平行為載體，用它來解決相關的問題.對于(1)可用兩組對邊分別平行來證明MNPQ是平行四邊形；再由比例的性質證得結論(2);當對棱垂直時,由空間等角的關系,可見四邊形MNPQ的一個角是直角,從而得到結論(3);對于結論(4),只要滿足既是菱形又是矩形的要求即可;對于最后的第(5)問,只要注意△AMQ∽△ABD,就可把平行四邊形MNPQ的周長表示出來，從而確定它是否是與a有關的定值.

(1)證明：∵AC∥平面MNPQ，且平面ADC∩平面MNPQ=PQ，且AC?平面ADC,

∴AC∥PQ.

同理,可證AC∥MN，BD∥MQ，BD∥NP.

∴PQ∥MN，MQ∥NP.

∴四邊形MNPQ為一平行四邊形.

(2)解：由(1)得                                ①

由MQ∥BD，得                                ②

又AC=BD,

①÷②,得當DQ=AQ時，

PQ=MQ.

又四邊形MNPQ為平行四邊形，

∴MNPQ為菱形，即當Q取AD中點時可截得菱形.

(3)解：顯然，當AC⊥BD時，MN⊥NP，即四邊形MNPQ為矩形.

(4)解：由(2)和(3)可知，當AC=BD且AC⊥BD，并且Q為AD的中點時，四邊形MNPQ為一正方形.

(5)證明：設MQ=x，PQ=y，Q為AD上一點，且AQ∶QD=m∶n，

∵△AMQ∽△ABD,∴且BD=a.

∴x=MQ=a.

同理,可得y=PQ=a.∴x+y=a+a=a.

∴周長為2(x+y)=2a,

即當AC=BD=a時，平行四邊形MNPQ的周長為定值2a.

方法歸納  本小題是一道典型的發散性思維題，其中綜合了幾何中的多個知識點，特別是線面平行和線線平行.正確理解相關平面圖形的定義是解答本題的關鍵.通過引入了參數可建立相關量間的關系式，消去參數后即得所求結果.