Question

已知函數．
（1）試在函數f（x）的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區間[-1，1]上；
（2）求證：（x∈R）

Answer 1

【答案】分析：（1）設所求兩點的橫坐標為x₁、x₂再利用切線的斜率之積為1：（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1，即可求得結果；
（2）因為|f（sinx）-f（cosx）|≤|f（sinx）|+|f（cosx）|，故欲求證（x∈R），只須探求|f（sinx）|和|f（cosx）|的取值范圍即可，故只要利用導數研究函數f（x）的單調性即可．
解答：解：（1）設所求兩點的橫坐標為x₁，x₂且 （x₁＜x₂），則：（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1，
又∵x₁，x₂∈[-1，1]．∴2x²-1∈[-1，1]，2x₂²-1∈[-1，1]，∴2x₁²-1，2x₂²-1中一個為1，一個為-1，
∴或∴所求的兩點為或
（2）易知：sinx∈[-1，1]，cosx∈[-1，1]
對函數??∴當時?
?f′（x）＜0，當時?f′（x）＞0
∴f（x）在為減函數，在上為增函數
又Z??Z
而f（x）在[-1，1]上為奇函數???
∴f（x）在[-1，1]上最大值為?，最小值為?
∴???????????
點評：本題主要考查了不等式的證明、利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題．