Question

（本小題滿分14分）
已知數列的第1項，且.
（1）計算，，；
（2）猜想的表達式，并用數學歸納法進行證明.

Answer 1

（1）1，，，；（2），證明見解析.

第一問中利用已知的遞推關系式可知借助于首項1，得到第二項和第三項和第四項。
第二問中，根據第一問中特殊情況，推廣到一般，得到猜想，然后結合數學歸納法加以證明即可。
解：（1）由題意，當n=1時，；
當n=2時，；             （1分）
當n=3時，；             （2分）
當n=4時，.               （3分）
（2）猜想.                      （6分）
①當n=1時，猜想顯然成立；                    （8分）
②假設當n=k（）時猜想成立，即，   （9分）
那么，，               （11分）
所以，當n=k+1時猜想也成立.                   （12分）
根據①和②，可知猜想對任何都成立.       （14分）