Question

14、（1+x）n=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxn（x∈N*）（1+x）n=C，上式兩邊對x求導(dǎo)后令x=1，可得結(jié)論：C_n¹+2C_n²+…+rC_n^r+nC_nⁿ=n•2^n-1，利用上述解題思路，可得到許多結(jié)論．試問：C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_nⁿ=

（n+2）2^n-1

．

Answer 1

分析：先設(shè)t=C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_nn再由C_n^m=C_n^n-m這個性質(zhì)，將t轉(zhuǎn)化為t=（n+1）C_n⁰+nC_n¹+（n-1）C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+C_nⁿ②，兩式相加求解．

解答：解：設(shè)t=C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_n^n…①
C_n^m=C_n^n-m
t=（n+1）C_n⁰+nC_n¹+（n-1）C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+C_n^n…②
由①②相加得：
2t=（n+2）（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_n^r+…+C_nⁿ）=（n+2）2ⁿ
∴t=（n+2）2^n-1
故答案為：（n+2）2^n-1

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)及利用組合數(shù)的關(guān)系應(yīng)用倒序相加法求代數(shù)式的值．