Question

【題目】如圖所示，在三棱錐P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ=2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH．

（1）求證：AB∥GH；
（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

∵C，D為AQ，BQ的中點，∴CD∥AB，

又E，F分別AP，BP的中點，∴EF∥AB，

則EF∥CD．又EF平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．

又CD平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．

又AB∥CD，∴AB∥GH

（2）解：由AQ=2BD，D為AQ的中點可得，三角形ABQ為直角三角形，

以B為坐標原點，分別以BA、BQ、BP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

設AB=BP=BQ=2，

則D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1），

因為H為三角形PBQ的重心，所以H（0， ， ）．

則 ，

， ．

設平面GCD的一個法向量為

由 ，得 ，取z1=1，得y1=2．

所以 ．

設平面EFG的一個法向量為

由 ，得 ，取z2=2，得y2=1．

所以 ．

所以 = ．

則二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于-

【解析】（1）由給出的D，C，E，F分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，利用三角形中位線知識及平行公理得到DC平行于EF，再利用線面平行的判定和性質得到DC平行于GH，從而得到AB∥GH；（2）由題意可知BA、BQ、BP兩兩相互垂直，以B為坐標原點建立空間直角坐標系，設出BA、BQ、BP的長度，標出點的坐標，求出一些向量的坐標，利用二面角的兩個面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的性質的相關知識，掌握一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行．