Question

已知函數f(x)=

1 3 x3+mx2 x≤0 ex-1 x＞0

（1）討論函數f（x）的極值情況；
（2）設g（x）=ln（x+1），當x₁＞x₂＞0時，試比較f（x₁-x₂）與g（x₁-x₂）及g（x₁）-g（x₂）三者的大小；并說明理由．

Answer 1

分析：（1）對函數求導，分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解函數的單調區間，結合函數的單調性，求函數的極值
（2）當x₁＞x₂＞0時，要比較①f（x₁-x₂）=ex1-x2-1，②g（x₁-x₂）=ln（x₁-x₂+1）及③g（x₁）-g（x₂）=ln（x₁+1）-ln（1+x₂）的大．比較①與②，利用構造函數h（x）=e^x-1-ln（1+x），（x＞0），通過研究研究函數的單調性來比較．比較②與③，利用做差比較大小．

解答：解：（1）解：當x＞0時，f（x）=e^x-1在（0，+∞）單調遞增，且f（x）＞0；
當x≤0時，f'（x）=x²+2mx．
①若m=0，f′（x）=x²≥0，f（x）=

1

3

x3在（-∞，0）上單調遞增，且f(x)=

1

3

x3≤0．
又f（0）=0，∴f（x）在R上是增函數，無極植；
②若m＜0，f′（x）=x（x+2m）＞0，則f（x）=

1

3

x3+mx2在（-∞，0）單調遞增，同①可知f（x）在R上也是增函數，無極值；（4分）
③若m＞0，f（x）在（-∞，-2m）上單調遞增，在（-2m，0）單調遞減，
又f（x）在（0，+∞）上遞增，故f（x）有極小值f（0）=0，（6分）
（2）解：當x＞0時，先比較e^x-1與ln（x+1）的大小，
設h（x）=e^x-1-ln（x+1）（x＞0）
h′（x）=ex-

1

x+1

＞0恒成立
∴h（x）在（0，+∞）是增函數，h（x）＞h（0）=0
∴e^x-1-ln（x+1）＞0即e^x-1＞ln（x+1）
也就是f（x）＞g（x），對任意x＞0成立．
故當x₁-x₂＞0時，f（x₁-x₂）＞g（x₁-x₂）（10分）
再比較g（x₁-x₂）=ln（x₁-x₂+1）與g（x₁）-g（x₂）=ln（x₁+1）-ln（x₂+1）的大小．
g（x₁-x₂）-[g（x₁）-g（x₂）]
=ln（x₁-x₂+1）-ln（x₁+1）+ln（x₂+1）
=ln

(x1-x2+1)(x2+1)

x1+1

=ln(

x2(x1-x2)

x1+1

+1]＞0
∴g（x₁-x₂）＞g（x₁）-g（x₂）
∴f（x₁-x₂）＞g（x₁-x₂）＞g（x₁）-g（x₂）．（13分）

點評：本題考查了函數的導數應用：求函數的極值，利用做差法及函數的單調性比較函數值的大小，解題中用的分類討論的思想．