Question

【題目】“累積凈化量（CCM）”是空氣凈化器質(zhì)量的一個(gè)重要衡量指標(biāo)，它是指空氣凈化器從開(kāi)始使用到凈化效率為50%時(shí)對(duì)顆粒物的累積凈化量，以克表示．根據(jù)GB/T18801﹣2015《空氣凈化器》國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)空氣凈化器的累積凈化量（CCM）有如下等級(jí)劃分：

累積凈化量（克）	（3，5]	（5，8]	（8，12]	12以上
等級(jí)	P1	P2	P3	P4

為了了解一批空氣凈化器（共2000臺(tái)）的質(zhì)量，隨機(jī)抽取n臺(tái)機(jī)器作為樣本進(jìn)行估計(jì)，已知這n臺(tái)機(jī)器的
累積凈化量都分布在區(qū)間（4，14]中，按照（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，均勻分組，其中累積凈化量在（4，6]的所有數(shù)據(jù)有：4.5，4.6，5.2，5.7和5.9，并繪制了如下頻率分布直方圖．

（Ⅰ）求n的值及頻率分布直方圖中的x值；
（Ⅱ）以樣本估計(jì)總體，試估計(jì)這批空氣凈化器（共2000臺(tái)）中等級(jí)為P2的空氣凈化器有多少臺(tái)？
（Ⅲ）從累積凈化量在（4，6]的樣本中隨機(jī)抽取2臺(tái)，求恰好有1臺(tái)等級(jí)為P2的概率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵在（4，6]之間的數(shù)據(jù)一共有6個(gè)，

再由頻布直方圖得：落在（4，6]之間的頻率為0.03×2=0.06，

∴n= =100，

由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：

（0.03+x+0.12+0.14+0.15）×2=1，

解得x=0.06．

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知：落在（6，8]之間共：0.12×2×100=24臺(tái)，

又∵在（5，6]之間共4臺(tái)，

∴落在（5，8]之間共28臺(tái)，

∴估計(jì)這批空氣凈化器（共2000臺(tái)）中等級(jí)為P2的空氣凈化器有560臺(tái)．

（Ⅲ）設(shè)“恰好有1臺(tái)等級(jí)為P2”為事件B，

依題意落在（4，6]之間共6臺(tái)，屬于國(guó)標(biāo)P2級(jí)的有4臺(tái)，

則從（4，6]中隨機(jī)抽取2臺(tái)，基本事件總數(shù)n= ，

事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)m= =8，

∴恰好有1臺(tái)等級(jí)為P2的概率P（B）=

【解析】（Ⅰ）先求出在（4，6]之間的數(shù)據(jù)一共有6個(gè)，再由頻布直方圖得：落在（4，6]之間的頻率為0.03×2=0.06，由此能求出n的值及頻率分布直方圖中的x值．（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知：落在（6，8]之間共24臺(tái)，在（5，6]之間共4臺(tái)，從而落在（5，8]之間共28臺(tái)，由此能估計(jì)這批空氣凈化器（共2000臺(tái)）中等級(jí)為P2的空氣凈化器有多少臺(tái)．（Ⅲ）設(shè)“恰好有1臺(tái)等級(jí)為P2”為事件B，依題意落在（4，6]之間共6臺(tái)，屬于國(guó)標(biāo)P2級(jí)的有4臺(tái)，則從（4，6]中隨機(jī)抽取2臺(tái)，基本事件總數(shù)n= ，事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)m= =8，由此能求出恰好有1臺(tái)等級(jí)為P2的概率．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用頻率分布直方圖，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過(guò)作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息即可以解答此題．