Question

【題目】已知關于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集為R． （Ⅰ）求m的最大值；
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此時a，b，c的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵|x﹣3|+|x﹣m|≥|（x﹣3）﹣（x﹣m）|=|m﹣3| 當3≤x≤m，或m≤x≤3時取等號，
令|m﹣3|≥2m，
∴m﹣3≥2m，或m﹣3≤﹣2m．
解得：m≤﹣3，或m≤1
∴m的最大值為1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=1．
由柯西不等式：（ + +1）（ 4a2+9b2+c2）≥（a+b+c）2=1，
∴4a2+9b2+c2≥ ，等號當且僅當4a=9b=c，且a+b+c=1時成立．
即當且僅當a= ，b= ，c= 時，4a2+9b2+c2的最小值為
【解析】（Ⅰ）利用|x﹣3|+|x﹣m|≥|（x﹣3）﹣（x﹣m）|=|m﹣3|，對x與m的范圍討論即可．（Ⅱ）構造柯西不等式即可得到結論．