Question

【題目】在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形， ， ， ， ， 為的中點.

（1）證明： ；

（2）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）．

【解析】試題分析：（1）連接BD，在△ADB中，AD=AB，∠BAD=60°，可得△ADB是等邊三角形．可得DE⊥AB．可得CD⊥平面PDE，即可證明PE⊥CD．

（2）作DM⊥PE，垂足為M，連接DM，CM，由CD⊥平面PDE，可得CM⊥PE，∠CMD是二面角C﹣PE﹣D的平面角．由CD⊥平面PDE，可得AB⊥PE．于是PE=3．在△PDE中，作EH⊥PD，H為垂足，可得sin∠EDP=

．在中，可得.

試題解析：

（1）在菱形中，因為， 為的中點，可得

，又因為，所以平面，

因此．

（2）過作，垂足為，連結．

由平面，得，

所以是二面角的平面角．

由， ，可得，

由為中點， ，所以．

又，

在中，由余弦定理得，

故，

所以．

在中，可得．

所以，二面角的正切值為．