Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，．點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2．

（1）求證：MN∥平面BDE；

（2）求二面角C-EM-N的正弦值；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取AB中點F，連接MF、NF，由已知可證MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，則MN∥平面BDE；
（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A為原點，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．求出平面MEN與平面CME的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值，進一步求得正弦值；

（1）證明：取AB中點F，連接MF、NF，
∵M為AD中點，∴MF∥BD，
∵BD平面BDE，MF平面BDE，∴MF∥平面BDE．
∵N為BC中點，∴NF∥AC，
又D、E分別為AP、PC的中點，∴DE∥AC，則NF∥DE．
∵DE平面BDE，NF平面BDE，∴NF∥平面BDE．
又MF∩NF=F．
∴平面MFN∥平面BDE，則MN∥平面BDE；
（2）∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．
∴以A為原點，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
∵PA=AC=4，AB=2，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），則

設平面MEN的一個法向量為

由 ，得 ，取z=2，得

由圖可得平面CME的一個法向量為

∴ ．
∴二面角C-EM-N的余弦值為，則正弦值為.