Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，PD∥MA，MA⊥AD，PM⊥平面CDM，MA=AD=

1

2

PD=2．
（1）求證：平面ABCD⊥平面AMPD；
（2）求點A到面CMP的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）只要證明CD⊥平面AMPD即可；
（2）要求點A到面CMP的距離，只要求三棱錐A-CMP的高，通過計算可得．

解答： （1）證明：∵PM⊥平面CDM，且CD?平面CDM，∴PM⊥CD，又ABCD是正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面AMPD，又CD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面AMPD；
解：（2）設三棱錐A-CMP的高為h，
由（1）知CD⊥平面AMPD，PM⊥平面CDM∴PM⊥CM，PM⊥DM，
又MA=AD=

1

2

PD=2．所以DM=2

2

，CM=2

3

，PM=2

2

，故S_△AMP=

1

2

AM×AD=2，S △CMP=2

6

，∴h=

S△AMP×CD

S△CMP

=

2×2

2 6

=

6

3

，
故三棱錐A-CMP的高為

6

3

，點A到面CMP的距離為

6

3

．

點評：本題考查了面面垂直的判定和通過三棱錐的體積求點到面的距離，屬于中檔題．