Question

設a為非負實數，函數f（x）=x|x-a|-a．
（Ⅰ）當a=2時，求函數的單調區間；
（Ⅱ）討論函數y=f（x）的零點個數，并求出零點．（Ⅲ）當-1≤x≤1時，|f'（x）|≤1，試求a的最大值，并求a取得最大值時f（x）的表達式．

Answer 1

解：（Ⅰ）當a=2時，，
①當x≥2時，f（x）=x²-2x-2=（x-1）²-3，
∴f（x）在（2，+∞）上單調遞增；
②當x＜2時，f（x）=-x²+2x-2=-（x-1）²-1，
∴f（x）在（1，2）上單調遞減，在（-∞，1）上單調遞增；
綜上所述，f（x）的單調遞增區間是（-∞，1）和（2，+∞），單調遞減區間是（1，2）．
（Ⅱ）（1）當a=0時，f（x）=x|x|，函數y=f（x）的零點為x₀=0；（5分）
（2）當a＞0時，，（6分）
故當x≥a時，，二次函數對稱軸，
∴f（x）在（a，+∞）上單調遞增，f（a）＜0；（7分）
當x＜a時，，二次函數對稱軸，
∴f（x）在上單調遞減，在上單調遞增；（8分）
∴f（x）的極大值為，1°當，即0＜a＜4時，函數f（x）與x軸只有唯一交點，即唯一零點，
由x²-ax-a=0解之得
函數y=f（x）的零點為或（舍去）；
（10分）2°當，即a=4時，函數f（x）與x軸有兩個交點，即兩個零點，分別為x₁=2
和；（11分）3°當，即a＞4時，函數f（x）與x軸有三個交點，即有三個零點，
由-x²+ax-a=0解得，，
∴函數y=f（x）的零點為和．（12分）
綜上可得，當a=0時，函數的零點為0；
當0＜a＜4時，函數有一個零點，且零點為；
當a=4時，有兩個零點2和；
當a＞4時，函數有三個零點
分析：（Ⅰ）先把a=2代入，利用絕對值的意義將函數化簡為分段函數，再對每一段利用二次函數的單調區間和對稱軸的關系求出每一段的單調區間，最后綜合即可求出整個函數的單調區間；
（Ⅱ）討論a的正負，利用二次函數的單調性以及函數的極小值與0進行比較，進行分別判定函數y=f（x）的零點個數．
點評：本題主要考查通過導數求函數的單調性與函數的極值；注意函數中若含參數一般需要討論．